Linguagem e lógica matemáticas - inf. adicional - parte 3

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Proposições, teoremas, corolários e lemas

Um teorema é essencialmente uma proposição verdadeira que não é evidente perante os dados disponíveis e que, portanto, necessita de uma demonstração ou prova.

Um corolário é um teorema que é consequência de um outro teorema e cuja demonstração, tirando partido desse outro teorema, é, em princípio, mais simples do que a deste.

Um lema é um teorema preliminar, com uma demonstração em princípio não tão complicada como a do teorema principal, que ajuda a provar este último.

Por vezes também se usa a palavra proposição como sinónimo de teorema. A ideia é que, neste sentido, a importância do resultado que uma proposição estabelece não justifica a distinção como teorema.

Como é fácil perceber, o uso destas quatro designações tem algum grau de subjetividade. No caso da proposição há ainda a agravante de, no sentido agora indicado, uma proposição ser, em particular, aquilo que anteriormente designámos por proposição verdadeira. A ideia é que no discurso matemático usual as afirmações são por regra verdadeiras (não estamos aqui para enganar ninguém!). Ou seja, por omissão, destacar algo como uma proposição traz consigo a intenção de tratar-se de uma proposição verdadeira.

No entanto, para evitarmos confusões, nesta parte usaremos apenas a designação teorema para qualquer uma das quatro possibilidades referidas acima.

A verdade que um teorema estabelece aparece frequentemente na forma de uma implicação. Em tais casos, e de acordo com a definição, tratando-se de um teorema, o simples facto de o seu enunciado ser uma implicação traz implícita a indicação de que se trata de uma implicação verdadeira. No contexto de um teorema, o antecedente e o consequente de uma implicação também se designam respetivamente por hipótese e tese.

Exemplo

Teorema: Seja $f :\: ]c,d[ \: \to \mathbb R$, onde $]c,d[$ é um dado intervalo aberto de números reais. Se $f$ é diferenciável, então $f$ é contínua.

Observe-se que a frase inicial do teorema identifica o universo a ser considerado. Neste caso é o universo de todas as funções reais $f$ definidas em intervalos abertos. A segunda frase pode ser escrita como a implicação $a(f) \Rightarrow b(f)$, onde $a(f)$ é a condição "$f$ é diferenciável" e $b(f)$ é a condição "$f$ é contínua".

A matemática está cheia de teoremas que vais querer usar, pois facilitam a resolução de problemas onde possam ser aplicados. As suas demonstrações muitas vezes não foram fáceis, mas a partir do momento em que os resultados que estabelecem estão disponíveis, podemos usá-los para nossa vantagem. Há, no entanto, que saber usá-los, algo que exploraremos no resto desta página.

Modus ponens

A regra de inferência lógica que leva o nome (em latim) de modus ponens, e que é a base do raciocínio dedutivo tão típico da matemática, diz-nos que se soubermos que uma implicação $a(x) \Rightarrow b(x)$ é verdadeira e que, para um dado $x$ do universo em causa, a condição $a(x)$ se torna numa proposição verdadeira, então podemos concluir que, para o mesmo $x$, a condição $b(x)$ também se torna numa proposição verdadeira.

Esta regra é uma consequência imediata da definição de implicação, que demos anteriormente, mas ainda assim convém tê-la presente. Costuma ser escrita esquematicamente como

(1)
\begin{array} {ccc} a(x) & \Rightarrow & b(x) \\ a(x) & & \\ \hline & \therefore & b(x) \end{array}

onde o símbolo $\therefore$ significa "conclusão". É este processo que se pede para ser usado quando se diz para se aplicar uma implicação (verdadeira) — por exemplo, um teorema — a uma concretização (também verdadeira) do antecedente da implicação.

Damos um exemplo de aplicação fora da matemática, para um mais fácil entendimento do seu uso:

Exemplo

Supõe que o ditado popular "Cão que ladra não morde" é uma implicação verdadeira. Pode ser escrita na forma $a(x) \Rightarrow b(x)$, onde $x$ varia no universo dos cães, $a(x)$ é a condição "cão que ladra" e $b(x)$ é a condição "cão que não morde". A aplicação do "modus ponens" a um espécimen canino que se sabe que ladra permite então concluir que o mesmo bicho não morde.1

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Aviso: No entanto, uma concretização verdadeira para $b(x)$ não garante que, para o mesmo $x$, a correspondente concretização de $a(x)$ seja verdadeira. O que uma implicação $a(x) \Rightarrow b(x)$ garante (conferir com a definição dada na parte 2) é que o conjunto $A$ das soluções de $a(x)$ está contido no conjunto $B$ das soluções de $b(x)$. No exemplo canino dado acima, o conjunto dos cães que ladram está contido no conjunto dos cães que não mordem. Como não se garante que estes conjuntos sejam iguais, poderá haver elementos do último que não estão no primeiro, isto é, é admissível, mesmo com as garantias dadas, que possa haver cães que não mordem e que também não ladram.

Modus tollens

Uma outra regra comum de inferência lógica, e que leva o nome (em latim) de modus tollens, costuma ser esquematizada do seguinte modo:

(2)
\begin{array} {ccc} a(x) & \Rightarrow & b(x) \\ \sim b(x) & & \\ \hline & \therefore & \sim a(x) \end{array}

Isto é, diz-nos que se soubermos que uma implicação $a(x) \Rightarrow b(x)$ é verdadeira e que, para um dado $x$ do universo em causa, a condição $b(x)$ se torna numa proposição falsa, então podemos concluir que, para o mesmo $x$, a condição $a(x)$ também se torna numa proposição falsa.

Para ficarmos convencidos de que de facto é assim, recorde-se que, em termos dos respetivos conjuntos de soluções $A$ e $B$, a implicação $a(x) \Rightarrow b(x)$ significa que $A \subset B$, logo, por conhecidas relações entre conjuntos, $B^c \subset A^c$, logo $\sim b(x) \Rightarrow \, \sim a(x)$. O modus tollens resulta então da aplicação do modus ponens a esta última implicação.

Exemplo

Retomando o exemplo acima, a aplicação agora do "modus tollens" a um espécimen canino que se sabe que morde permite então concluir que nunca se ouviu o bicho em causa a ladrar.

Aviso: No entanto, uma concretização falsa para $a(x)$ não garante que, para o mesmo $x$, a correspondente concretização de $b(x)$ seja falsa. Tal como referido acima, a veracidade de $a(x) \Rightarrow b(x)$ garante a veracidade de $\sim b(x) \Rightarrow \, \sim a(x)$, de modo que a argumentação se pode reduzir à discussão feita no aviso anterior. De um ponto de vista pictórico, o ponto assinalado no diagrama desenhado acima a propósito do exemplo canino ilustra a possibilidade de existir um cão que não ladra e que também não morde.

Sobre a demonstração de teoremas

O processo é, na sua essência, análogo ao da resolução de condições por aplicação de regras de inferência lógica. Todas as conclusões que se pretendam obter em matemática devem seguir regras estritas como as duas introduzidas acima, para se obter o grau de certeza e de precisão que é reconhecido à matemática.

É claro que isso exige também que as definições e as propriedades usadas sejam claras, sem ambiguidades, e que se delimite um conjunto pequeno delas em determinada área e a partir das quais se deduzam outras, que por sua vez podem então ser usadas para deduzir outras ainda, etc., sem se cair num círculo vicioso.


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