Linguagem, lógica matemática e limites

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Informação adicional

O texto acima contém um índice que lista conceitos abordados ao longo da história e cujo significado é importante que percebas. Caso necessites de informação adicional sobre eles ou outros com eles relacionados, consulta, ao teu critério, a informação abaixo.

Parte 1
Sumário:
Pertença, inclusões e igualdades.
Designações, expressões designatórias, afirmações e condições.
Quantificadores.

Parte 2
Sumário:
Condições, soluções e conjuntos.
Implicações e equivalência.
Conjunção e interseção, disjunção e união, negação e complementar.

Parte 3
Sumário:
Proposições, teoremas, corolários e lemas.
Modus ponens.
Modus tollens.
Sobre a demonstração de teoremas.

Aproveitamos para aplicar algumas das ideias anteriores a alguma matéria importante para este curso.

No que se segue supõe-se, a menos que algo seja referido em contrário, que nenhum intervalo fechado degenera num conjunto singular.

Funções regulares

Uma função $f : [a,b] \to \mathbb R$ diz-se regular se e só se for contínua (em $[a,b]$) e diferenciável em $]a, b[$.

Teoremas de Rolle e de Lagrange

Teorema de Rolle

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ uma função regular tal que $f(a) = f(b)$ . Então existe $c \in ]a,b[$ tal que $f'(c) = 0$.

Mais à frente diremos algo sobre como provar este teorema a partir de princípios mais básicos. No entanto, para já tentaremos usar a lógica matemática para obtermos conclusões a partir dele:

Exercícios

  1. Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ uma função regular.
    Porque é que entre dois zeros de $f$ existe pelo menos um zero de $f'$?
    E porque é que entre dois zeros consecutivos de $f'$ existe no máximo um zero de $f$?
  2. Considera a função dada por $f(x) = 3x-3+\sin(x-1)$.
    1. Calcula $f(1)$.
    2. Mostra que $f$ tem um único zero em $\mathbb{R}$.
  3. Utiliza o Teorema de Rolle para provares que:
    1. O polinómio $x^{102}+ax+b$, com $a,b \in \mathbb R$, tem no máximo duas raízes reais.
    2. O polinómio $x^{101}+ax+b$, com $a,b \in \mathbb R$, tem no máximo três raízes reais.

Teorema de Lagrange2

Seja $f$ uma função regular em $[a,b]$. Existe $c \in ]a,b[$ tal que $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

A prova faz-se facilmente por redução ao Teorema de Rolle:

Considera $F(x) := f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$, $\, x \in [a,b]$. Tem-se que $F$ também é regular em $[a,b]$3 e que $F(a)=F(b)$, como facilmente se comprova. Aplica-se então o Teorema de Rolle a $F$ e obtém-se a conclusão pretendida.4

É o Teorema de Lagrange que permite provar facilmente o conhecido Critério de monotonia, o qual permite determinar o sentido da monotonia de uma função através do sinal da sua derivada.
A chave para a prova de tal resultado está na observação de que, dados quaisquer $x,y\in [a,b]$ com $x<y$, o sinal de $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ é, pelo Teorema de Lagrange, igual ao sinal de $f'(c)$, para algum $c \in ]x,y[$5. Completa os detalhes da argumentação!

Exercício

  1. A exemplo do que se fez acima para provar o Teorema de Lagrange, aplica o Teorema de Rolle a $F(x) := f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$ e prova a seguinte generalização do Teorema de Lagrange:
Teorema de Cauchy:

Se $f, g$ são funções regulares em $[a,b]$ com $g'$ diferente de zero em $]a,b[$, então $g(b)-g(a) \not= 0$ e existe $c \in ]a,b[$ tal que $\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

Cálculo de limites

O Teorema de Cauchy, enunciado num dos exercícios acima, permite provar a seguinte regra prática para o cálculo de limites em situações de indeterminação $\frac{0}{0}$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ ou $\frac{\pm \infty}{\mp \infty}$:

Regra de Cauchy

Sejam $f, g$ diferenciáveis num intervalo $I$, onde, para algum $\varepsilon > 0$, $I = ]a-\varepsilon, a[ \,$ (resp. $I = ]a,a+\varepsilon[$) com $a \in \mathbb R$.
Se $g(x), g'(x) \not= 0$ para $x \in I$, se $\lim_{x \to a-} \frac{f(x)}{g(x)}$ $\big($resp. $\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} \big)$ configura uma situação de indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ ou $\frac{\pm \infty}{\mp \infty}$, e se existe $\lim_{x \to a-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ $\big($resp. $\lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} \big)$, então também existe $\lim_{x \to a-} \frac{f(x)}{g(x)}$ $\big($resp. $\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} \big)$ e
$\qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to a-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a-} \frac{f'(x)}{g'(x)}\;\;$ $\big($resp. $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)}\big)$.

Nota: Esta regra também é válida quando em vez de $x \to a-$ (resp. $x \to a+$) se considera
$x \to \infty$ (resp. $x \to -\infty$), com as necessárias adaptações.

Exercícios

  1. Calcula os seguintes limites:
    1. $\lim_{x \to 0} \frac{x\ \sin x}{1 - \cos x}$.
    2. $\lim_{x\to 1} \frac{x^4 - 2x^3 + 2x - 1}{x^3 - 3x + 2}$.
    3. $\lim_{x\to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}}$.
    4. $\lim_{x\to0^+}x^x$.
  2. Diz o que está errado no seguinte cálculo, onde se aplica duas vezes a regra de Cauchy:
(1)
\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x }{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2} = 0. \end{align}

Como se observou nos comentários à resolução do primeiro exercício acima, a regra de Cauchy é por vezes também designada por regra de L'Hospital, pelo menos em textos de língua inglesa. No entanto, em Portugal existe a tradição de chamar regra de L'Hospital, ou regra de L'Hôpital, a uma regra um pouco diferente. Não trabalharemos com esta aqui, mas incluímos na ligação abaixo alguma informação adicional, para o caso de quereres saber mais.


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