1.1 Ponto de partida

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Mote

(O texto abaixo vem na sequência das duas histórias anteriores, contidas nas secções Linguagem, lógica matemática e limites e Matemática elementar (revisão), que devem, portanto, ser lidas primeiro, para uma compreensão completa da presente história. E aplicam-se aqui as mesmas recomendações lá feitas sobre a melhor maneira de leres e explorares o texto; no presente caso, em adição, as páginas com as figuras deveriam ser impressas a cores.)

Informação adicional

O texto acima contém um índice que lista conceitos cujo significado é importante que percebas1 ou ideias que deves saber utilizar. Caso necessites de informação adicional sobre eles ou outros com eles relacionados, encontrarás em pré-requisitos, na barra superior, informação sobre fontes que poderás consultar com esse propósito. Ou, em alternativa, poderás consultar, ao teu critério, as secções de revisão que se apresentam abaixo.

No seguimento da história acima é certamente importante que, numa primeira fase, domines o seguinte:

  • Conhecimento elementar sobre várias funções básicas introduzidas nos níveis anteriores de ensino. Construção de funções mais complicadas a partir daquelas, através das operações aritméticas aplicadas a funções e também através de operações mais elaboradas como a inversão e a composição.
    • Este conhecimento deverá ser tanto analítico como gráfico (a partir da representação usual das variáveis num sistema de eixos coordenados cartesianos), tanto para as funções como para as várias operações mencionadas sobre elas (no caso da composição, apenas se pressupõe, a nível de representação gráfica, familiaridade de composição com operações simples como a adição algébrica de constante ou a multiplicação/divisão por constante).
    • Inclui o conhecimento da trigonometria básica que permite a definição das funções trigonométricas usualmente ensinadas nos ensinos básico e secundário.
    • Inclui conhecimento de rudimentos de geometria analítica plana (fórmulas para o cálculo da distância, declive, paralelismo, perpendicularidade, equações de retas, de circunferências e de parábolas com eixos de simetria horizontais ou verticais, representação gráfica do conjunto de soluções de inequações simples com duas variáveis).

Algum material neste sentido pode ser revisto a seguir:

Universo das funções (revisão):

Parte 1
Sumário:
Funções afins/lineares.
Funções quadráticas.
Funções potências.

Parte 2
Sumário:
Cálculo de inversas.
Funções exponenciais.
Funções logarítmicas.
Funções trigonométricas (diretas).

Numa segunda fase (e a história acima aponta também para isso) deverás recordar como se constroem quadros de variação de funções, os quais tiram partido da noção de continuidade e do cálculo de derivadas e de limites em geral, de modo que deverás recordar também estas matérias, pelo menos o suficiente para conseguires construir os referidos quadros de variação. Para te facilitar a vida, reproduz-se abaixo algum material essencialmente de revisão a esse respeito, que poderás consultar consoante as tuas necessidades:

Limites e continuidade (revisão):

Parte 1
Sumário:
Sucessões. Sucessões convergentes.

Parte 2
Sumário:
Ponto de acumulação. Ponto isolado. Ponto interior.
Limite de função (segundo Heine).
Um critério útil em abordagens geométricas.
Algumas propriedades elementares (incluindo a álgebra dos limites).

Parte 3
Sumário:
Continuidade pontual. Álgebra das funções contínuas.
Limite e continuidade segundo Cauchy.

Parte 4
Sumário:
Valores intermédios de funções contínuas.
Inversas de funções contínuas (injetivas).

Derivadas (revisão):

Parte 1
Sumário:
Derivada de uma função num ponto.
Função diferenciável e (função) derivada.
Exemplos básicos. Álgebra das funções diferenciáveis.
Exemplos (tabela de derivadas).

Parte 2
Sumário:
Derivada da composição de funções (regra da cadeia).
Notações alternativas.

Parte 3
Sumário:
Extremos de uma função.
Derivada e monotonia de uma função.

Parte 4
Sumário:
Extremos e contradomínios via quadro de variação.
Assíntotas.

Resolução de inequações

Retomando um dos temas principais da história acima, resolve algebricamente cada um dos exercícios abaixo, compara o teu resultado com o das soluções e, em caso de discrepância, revê os cálculos que fizeste ou tenta substituir partes da tua argumentação algébrica por argumentação gráfica até perceberes onde erraste.

Recorda-se que no caso das resoluções essencialmente gráficas uma das possibilidades é determinar primeiro um quadro de variação da função em causa e depois argumentar a partir daí usando o que se chamou na história o princípio da inversão. Para esse efeito, chama-se a atenção para o facto de as funções envolvidas nos três primeiros exercícios abaixo constarem também do 1.º exercício da secção Derivadas - parte 4 (revisão) acima, e que numa das alíneas foi mesmo aí apresentado o quadro de variação nas soluções.

No entanto, se o quadro de variação não estiver já disponível, poderá não valer a pena o esforço de o determinar quando o objetivo é meramente o de resolver uma inequação.

Chama-se, contudo, a atenção para o erro comum como o que a João fez na sua resolução inicial da inequação

(1)
\begin{align} \frac{1}{x}\leq 1, \end{align}

ao multiplicar ambos os membros por $x$ e não reparar que tinha que considerar dois casos, consoante o sinal de $x$. Em situações deste género, uma alternativa algébrica que evita essa separação em casos é fazer

(2)
\begin{eqnarray} \frac{1}{x}-1 & \leq & 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1-x}{x} & \leq & 0 \end{eqnarray}

e depois resolver o problema através de um quadro de sinais.

Exercícios

Determina, no universo $\mathbb R$, os conjuntos das soluções das seguintes inequações:

  1. $\frac{4x-1}{2x+3}>1$.
  2. $e^{\frac{1}{x}}+2<2+e$.
  3. $0<\frac{x+1}{x^2+1}<2$.
  4. $\frac{2x^2+1}{2\sqrt{2}\, x}\leq 1$.
  5. $\frac{1}{\sqrt{x-1}}>\frac{1}{x}$.
  6. $\frac{\ln(x+e)\,+\,x}{x+1}<1$.
  7. $\ln x > \frac{x-1}{\sqrt{x}}$. [Nota: pode ser útil observar que quando $x=1$ as expressões de cada lado da desigualdade dão o mesmo valor.]

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