Integrabilidade de funções contínuas

Proposição

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ é contínua, então é integrável.

Demonstração

No caso de $a=b$ não há nada a provar, por isso considere-se $a < b$.

Tal como referido a propósito da definição de continuidade segundo Cauchy, é sabido que uma função contínua num intervalo limitado e fechado é aí necessariamente uniformemente contínua, isto é, é verdadeira a proposição

(1)
\begin{align} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta >0 : \forall x,y \in [a,b],\; |x-y|<\delta \, \Rightarrow \, |f(x)-f(y)|<\varepsilon. \end{align}

Usamos a afirmação 3 da caracterização da integrabilidade.

Por um lado, a continuidade de $f$ em $[a,b]$ garante a sua limitação aí, como decorre, por exemplo, do Teorema de Weierstrass.

Por outro lado, considere-se um qualquer $\varepsilon > 0$ e seja $\delta > 0$ escolhido, de acordo com a proposição (1) acima, de tal modo que

(2)
\begin{align} \forall x,y \in [a,b],\; |x-y|<\delta \, \Rightarrow \, |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{b-a}. \end{align}

Considere-se uma partição $P := \{ x_0, \ldots, x_n \}$ de $[a,b]$ formada por subintervalos de amplitude comum igual a $\frac{b-a}{n}$, para $n \in \mathbb N$ escolhido de tal modo que $\frac{b-a}{n} < \delta$. Tem-se então, atendendo a (2) e ao facto de $M_i$ e $m_i$ serem atingidos por valores de $f$ em $[x_{i-1},x_i]$ — cf. novamente o Teorema de Weierstrass —, que

(3)
\begin{eqnarray} 0 \; \leq \; \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) & = & \sum_{i=1}^n (M_i-m_i) \frac{b-a}{n} \\ & < & \frac{b-a}{n} n \frac{\varepsilon}{b-a} \; = \; \varepsilon. \end{eqnarray}

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