Caracterização da integrabilidade

Proposição

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a < b$. As seguintes quatro afirmações são equivalentes:

1. $f$ é integrável à Riemann (em $[a,b]$).

2. Existe $I \in \mathbb R$ tal que $\forall \varepsilon > 0, \exists$ partição $P_\varepsilon$ de $[a,b] :$ $\forall$ partição $P := \{ x_0, \ldots, x_n \}$ de $[a,b]$ tal que $P \supset P_\varepsilon$, $\forall \xi := (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ compatível com $P$, $| S(f,P,\xi) - I | < \varepsilon\,$.

3. $f$ é limitada e $\forall \varepsilon > 0, \exists$ partição $P$ de $[a,b] : \; 0 \leq \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) < \varepsilon$,

onde $\; \underline{S}(f,P) := \sum_{i=1}^n m_i (x_i-x_{i-1})\;$ e $\; \overline{S}(f,P) := \sum_{i=1}^n M_i (x_i-x_{i-1})\;$, com $\, m_i := \inf_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)\,$ e $\, M_i := \sup_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)$, são as chamadas somas, respetivamente inferior e superior, de Darboux de $f$ associadas a $P$.

4. $f$ é limitada e $\underline{I}(f) = \overline{I}(f)$,

onde $\underline{I}(f)$ e $\overline{I}(f)$ são os integrais inferior e superior de Darboux, definidos respetivamente por $\underline{I}(f) := \sup_P \underline{S}(f,P)$ e $\overline{I}(f) := \inf_P \overline{S}(f,P)$, com o ínfimo e o supremo considerados sobre todas as partições $P$ de $[a,b]$, e $\underline{S}(f,P)$ e $\overline{S}(f,P)$ significando o mesmo que no ponto anterior.

Além disso, no caso de se verificar uma das (e, logo, todas as) quatro afirmações acima, verifica-se também que $\underline{I}(f) = I = \int_a^b f(x) \, dx = \overline{I}(f)$.

Demonstração

A demonstração é bastante técnica e foge aos objetivos deste curso, por isso optamos por não a incluir aqui. Apenas esclarecemos algumas propriedades elementares:

Supondo meramente que $f$ é limitada, decorre diretamente das definições que $\underline{S}(f,P) \leq \overline{S}(f,P)$, de modo que a desigualdade $0 \leq \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P)$ na afirmação 3 se verifica automaticamente sem necessidade de mais nenhuma hipótese adicional. É até possível provar (observando que $\underline{S}(f,P) \leq \underline{S}(f, P \cup Q) \leq \overline{S}(f,P \cup Q) \leq \overline{S}(f,Q)$) que, quaisquer que sejam as partições $P$ e $Q$ de $[a,b]$, $\underline{S}(f,P) \leq \overline{S}(f,Q)$, e portanto na afirmação 4 a desigualdade $\underline{I}(f) \leq \overline{I}(f)$ verifica-se também automaticamente sem necessidade de mais nenhuma hipótese adicional para além de $f$ ser limitada.

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