Heine-Cauchy

Proposição

Sejam $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$, $a$ um ponto de acumulação de $D$ e $b \in \mathbb R$. Então $\lim_{x \to a} f(x) = b$ no sentido de Heine se e só se $\lim_{x \to a} f(x) = b$ no sentido de Cauchy.

Demonstração

Recorda que se diz que $\lim_{x \to a} f(x) = b$ segundo Heine se e só se

(1)
\begin{align} \forall (u_n)_n \subset D \setminus \{ a \}, \;\; \lim_{n \to \infty} u_n = a \;\; \Rightarrow \;\; \lim_{n \to \infty} f(u_n) = b, \end{align}

enquanto se diz que $\lim_{x \to a} f(x) = b$ segundo Cauchy se e só se

(2)
\begin{align} \forall \varepsilon >0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D, \;\; 0 < |x-a| < \delta \;\; \Rightarrow \;\; |f(x)-b| < \varepsilon. \end{align}

A implicação mais fácil de obter é que a definição de Cauchy garante a de Heine: de facto, assumindo (2), dada qualquer sucessão $(u_n)_n \subset D \setminus \{ a \}$ convergente para $a$, conseguimos, fixando arbitrariamente $\varepsilon > 0$, encontrar uma ordem $n_0$ a partir da qual se verifica $0 < |u_n - a| < \delta$ (para o $\delta$ escolhido em (2) em função daquele $\varepsilon$), e portanto a partir da qual também se verifica que $|f(u_n) - b| < \varepsilon$. Ou seja, também $(f(u_n))_n$ converge para $b$.

A prova da implicação contrária pode fazer-se argumentando por contradição:

Assumindo (1), suponhamos que (2) era falsa. Então existiria um $\varepsilon > 0$ tal que qualquer que fosse o $\delta > 0$ existiria um $x \in D$ tal que $0 < |x-a| < \delta$ mas $|f(x)-b| \geq \varepsilon$. Ou, totalmente em símbolos,

(3)
\begin{align} \exists \varepsilon > 0 : \forall \delta > 0, \exists x \in D : \;\; 0 < |x-a| < \delta \;\; \wedge \;\; |f(x)-b| \geq \varepsilon. \end{align}

Em particular, para todo o $\delta > 0$ da forma $\frac{1}{n}$, com $n \in \mathbb N$, existiria $x_n \in D$ tal que

(4)
\begin{align} 0 < |x_n-a| < \frac{1}{n} \quad \wedge \quad |f(x_n)-b| \geq \varepsilon. \end{align}

Teríamos então construído assim uma sucessão $(x_n)_n \subset D \setminus \{ a \}$ (porquê?) convergente para $a$ (porquê) mas em que a sucessão $(f(x_n))_n$ não convergiria para $b$ (porquê?), o que contraria a hipótese de que partimos. Em conclusão, perante a hipótese (1) a afirmação (2) tem que ser necessariamente verdadeira.

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